45. Find all natural values of a for which the inequality is true:

Решение:

Нам нужно найти натуральные значения \( a \), удовлетворяющие неравенствам.

1. \( \frac{5}{14} < \frac{a}{14} < 1 \).
   Умножим все части неравенства на 14: \( 5 < a < 14 \).
   Натуральные значения \( a \): 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
2. \( \frac{1}{4} < \frac{a}{12} < \frac{5}{6} \).
   Приведем все дроби к общему знаменателю 12:
   \( \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \); \( \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \).
   Неравенство примет вид: \( \frac{3}{12} < \frac{a}{12} < \frac{10}{12} \).
   Умножим все части на 12: \( 3 < a < 10 \).
   Натуральные значения \( a \): 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 1) \( a \in \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\); 2) \( a \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).