42. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а M — середина гипотенузы AB. Нужно доказать, что CM = AB/2.

1. Продлим медиану CM за точку M до точки D так, чтобы MD = CM. Тогда M — середина и отрезка AB, и отрезка CD.
2. Диагонали четырёхугольника ACBD — AB и CD — пересекаются и делятся пополам, значит, ACBD — параллелограмм.
3. Так как угол ACB прямой, параллелограмм ACBD имеет прямой угол, а значит, является прямоугольником.
4. Диагонали прямоугольника равны: CD = AB. Поскольку CM = CD/2, получаем CM = AB/2.

Что и требовалось доказать.