45. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит её в отношении 3 : 1. Найдите диагонали прямоугольника, если точка их пересечения удалена от большей стороны на 6 см.

Пусть большая сторона прямоугольника равна a, меньшая — b, а высота, опущенная на диагональ, делит её на отрезки в отношении 3 : 1.

1. Точка пересечения диагоналей — центр прямоугольника. Её расстояние до большей стороны равно половине меньшей стороны: b/2 = 6, поэтому b = 12 см.
2. По свойству проекций катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу отношение частей диагонали равно отношению квадратов соответствующих сторон. Следовательно, a² : b² = 3 : 1, то есть a = √3b = 12√3 см.
3. Диагональ d находим по теореме Пифагора: d² = a² + b² = (12√3)² + 12² = 432 + 144 = 576, поэтому d = 24 см.

Обе диагонали прямоугольника равны.

Ответ: 24 см и 24 см.