427. Решите системы уравнений: а) {√x + √y = 8; x − y = 16}; б) {∛x + ∛y = 5; xy = 216}; в) {√x − √y = 4; x − y = 32}; г) {∛x − ∛y = 2; xy = 27}.

а) Обозначим \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{y}\), где \(u,v\geq0\). Тогда \(u+v=8\), а \(x-y=(u-v)(u+v)=16\), откуда \(u-v=2\). Решая систему для \(u,v\), получаем \(u=5\), \(v=3\). Значит, \((x;y)=(25;9)\).

б) Пусть \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Тогда \(u+v=5\) и \((uv)^3=216\), следовательно, \(uv=6\). Числа \(u,v\) — корни уравнения \(z^2-5z+6=0\), то есть 2 и 3. С учётом обоих порядков получаем \((x;y)=(8;27)\) или \((27;8)\).

в) Пусть \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{y}\), где \(u,v\geq0\). Из \(x-y=(u-v)(u+v)=32\) и \(u-v=4\) следует \(u+v=8\). Тогда \(u=6\), \(v=2\), поэтому \((x;y)=(36;4)\).

г) Пусть \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Из условия \(uv=\sqrt[3]{xy}=3\), а также \(u-v=2\). Подставим \(u=v+2\): \(v(v+2)=3\), то есть \((v-1)(v+3)=0\). При \(v=1\) имеем \(u=3\), поэтому \((x;y)=(27;1)\). При \(v=-3\) имеем \(u=-1\), поэтому \((x;y)=(-1;-27)\).

Ответ: а) (25; 9); б) (8; 27), (27; 8); в) (36; 4); г) (27; 1), (−1; −27).