Решите системы уравнений: а) {∛x + 2∛y = 1; 3∛x − ∛y = 10}; б) {4⁴√x − ⁴√y = 2⁴√2; 2⁴√x + 3⁴√y = 8⁴√2}; в) {2⁴√x + ⁴√y = 7; 4⁴√y − 3⁴√x = 6}; г) {√x + 3√y = 5√5; 5√y − 2√x = √5}.

а) Обозначим \(u=\sqrt[3]{x}\), \(v=\sqrt[3]{y}\). Получаем систему \(u+2v=1\), \(3u-v=10\). Из первого уравнения \(u=1-2v\); подстановка во второе даёт \(3-7v=10\), откуда \(v=-1\), \(u=3\). Значит, \(x=27\), \(y=-1\).

б) Пусть \(u=\sqrt[4]{x}\), \(v=\sqrt[4]{y}\), \(a=\sqrt[4]{2}\). Тогда \(4u-v=2a\), \(2u+3v=8a\). Из первого уравнения \(v=4u-2a\); подстановка во второе даёт \(14u=14a\), поэтому \(u=a\), \(v=2a\). Следовательно, \(x=2\), \(y=32\).

в) Пусть \(u=\sqrt[4]{x}\), \(v=\sqrt[4]{y}\). Из уравнения \(2u+v=7\) имеем \(v=7-2u\). Подстановка во второе: \(4(7-2u)-3u=6\), откуда \(u=2\), \(v=3\). Следовательно, \(x=16\), \(y=81\).

г) Пусть \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{y}\), \(s=\sqrt{5}\). Система принимает вид \(u+3v=5s\), \(-2u+5v=s\). Подстановка \(u=5s-3v\) во второе уравнение даёт \(11v=11s\), значит, \(v=s\), \(u=2s\). Поэтому \(x=20\), \(y=5\).

Ответ: а) (27; −1); б) (2; 32); в) (16; 81); г) (20; 5).