43. 27^{\(\log\)_{\(\sqrt{3}\)} \(\frac{1}{2}\)}.

Решение:

Преобразуем основание степени и логарифма так, чтобы они совпадали.

\( 27^{\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{2}} = (3^3)^{\log_{3^{1/2}} \frac{1}{2}} \)

Используем свойство \( a^{log_{b^n} c^m} = c^{\frac{m}{n} log_b a} \).

\( (3^3)^{\log_{3^{1/2}} \frac{1}{2}} = (3^3)^{\frac{1}{1/2} log_3 \frac{1}{2}} = (3^3)^{2 log_3 \frac{1}{2}} = (3^3)^{log_3 (\frac{1}{2})^2} = (3^3)^{log_3 \frac{1}{4}} = 3^{3 log_3 \frac{1}{4}} = 3^{log_3 (\frac{1}{4})^3} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64} \)

Ответ: 1/64.