43. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - два штрафных очка, за каждый последующий промах - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 11 штрафных очков?

Штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию, где первый член (a_1 = 2), а разность (d = 0.5). Сумма штрафных очков составляет 11. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: (S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)). Подставим известные значения: (11 = \frac{n}{2}(2(2) + (n-1)0.5)) (22 = n(4 + 0.5n - 0.5)) (22 = n(3.5 + 0.5n)) (22 = 3.5n + 0.5n^2) (0.5n^2 + 3.5n - 22 = 0) (n^2 + 7n - 44 = 0) Решим квадратное уравнение: (n = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-44)}}{2}) (n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}) (n = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{2}) (n = \frac{-7 \pm 15}{2}) Имеем два корня: (n_1 = \frac{-7 + 15}{2} = 4) и (n_2 = \frac{-7 - 15}{2} = -11). Количество промахов не может быть отрицательным, поэтому (n=4). Всего 20 выстрелов, и 4 промаха, значит, 16 попаданий. Ответ: 16