440. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Пусть в треугольнике ABC квадраты построены на сторонах AB и AC вне треугольника. Обозначим через P и Q концы сторон квадратов, выходящих из вершины A. Требуется доказать, что PQ = 2AM, где M — середина BC.

Поворот на 90° вокруг A переводит луч AB в луч AP, а AC — в луч AQ. Поскольку квадраты построены снаружи, оба поворота имеют одинаковое направление.

Пусть R — образ точки B при этом повороте. Тогда вектор AP равен повёрнутому вектору AB, а вектор AQ — повёрнутому вектору AC. Следовательно, вектор PQ равен образу вектора BC при повороте на 90° и поэтому PQ = BC.

Это не даёт заявленного равенства PQ = 2AM: в общем треугольнике 2AM не равно BC. Значит, формулировка на фотографии, вероятно, распознана неверно либо в ней пропущено дополнительное условие. Пришлите более чёткий фрагмент упражнения 440.