444*. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Пусть оси симметрии фигуры — взаимно перпендикулярные прямые l и m, пересекающиеся в точке O. Рассмотрим последовательное отражение фигуры сначала относительно l, затем относительно m.

Композиция двух отражений относительно пересекающихся прямых равна повороту вокруг их точки пересечения на удвоенный угол между прямыми. Здесь угол между осями равен 90°, поэтому композиция — поворот вокруг O на 180°.

Каждое из двух отражений переводит фигуру в себя, следовательно, и их композиция переводит фигуру в себя. Поворот на 180° вокруг O является центральной симметрией с центром O.

Ответ: точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии является центром симметрии фигуры.