45. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3 + 3t² м/с. Найти путь, пройденный телом за 5 с от начала движения.

Решение:

Путь \( S \) равен определённому интегралу от скорости по времени от 0 до 5 секунд:

\[ S = \int_{0}^{5} v(t) dt = \int_{0}^{5} (3 + 3t^2) dt \]

Найдем первообразную:

\[ \int (3 + 3t^2) dt = 3t + t^3 \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ S = [3t + t^3]_{0}^{5} = (3 \cdot 5 + 5^3) - (3 \cdot 0 + 0^3) = (15 + 125) - 0 = 140 \]

Ответ: 140 м