52. Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f (x) = 4x + 1/x², A(-1;4)

Решение:

1. Найдем первообразную функции \( f(x) = 4x + x^{-2} \).

Первообразная от \( 4x \) равна \( 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \).

Первообразная от \( x^{-2} \) равна \( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \).

Общая первообразная: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \).

2. Используем условие, что график проходит через точку \( A(-1;4) \), то есть \( F(-1) = 4 \).

Подставим \( x = -1 \) и \( F(x) = 4 \) в уравнение первообразной:

\( 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \)

\( 4 = 2(1) - (-1) + C \)

\( 4 = 2 + 1 + C \)

\( 4 = 3 + C \)

\( C = 1 \).

3. Подставим найденное значение \( C \) в общее уравнение первообразной:

\( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).

Ответ: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \)