50. Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 5 sin(x/5) + cos (2x)

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = 5 \sin(\frac{x}{5}) + \cos(2x) \).

Первообразная от \( \sin(ax) \) равна \( -\frac{1}{a} \cos(ax) \).

Первообразная от \( \cos(bx) \) равна \( \frac{1}{b} \sin(bx) \).

Для \( 5 \sin(\frac{x}{5}) \), \( a = \frac{1}{5} \). Первообразная: \( 5 \cdot (-\frac{1}{1/5} \cos(\frac{x}{5})) = 5 \cdot (-5 \cos(\frac{x}{5})) = -25 \cos(\frac{x}{5}) \).

Для \( \cos(2x) \), \( b = 2 \). Первообразная: \( \frac{1}{2} \sin(2x) \).

Общая первообразная равна сумме первообразных с добавлением константы \( C \).

\( F(x) = -25 \cos(\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin(2x) + C \).

Ответ: \( F(x) = -25 \cos(\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin(2x) + C \)