47. Найди значения х, при которых значения производной функции f(x)=1+х / x²+3 отрицательно.

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1+x}{x^2+3} \) с помощью правила дифференцирования частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 1+x \), \( v = x^2+3 \).

Тогда \( u' = 1 \), \( v' = 2x \).

\( f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+3) - (1+x) \cdot 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 2x - 2x^2}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \).

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} = 0 \)

\( -x^2 - 2x + 3 = 0 \)

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).

3. Определим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), \( (1, \infty) \).

Знаменатель \( (x^2+3)^2 \) всегда положителен.

Рассмотрим числитель \( -x^2 - 2x + 3 \).

При \( x < -3 \), например \( x = -4 \): \( -(-4)^2 - 2(-4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 < 0 \). Производная отрицательна.

При \( -3 < x < 1 \), например \( x = 0 \): \( -(0)^2 - 2(0) + 3 = 3 > 0 \). Производная положительна.

При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( -(2)^2 - 2(2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 < 0 \). Производная отрицательна.

4. Производная отрицательна при \( x \in (-\infty, -3) \) и \( x \in (1, \infty) \).

Ответ: x ∈ (‑∞; ‑3) ∪ (1; +∞)