49. Найди значения х, при которых значения производной функции f(x)=1-x / x²+8 отрицательно.

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} \) с помощью правила дифференцирования частного.

Пусть \( u = 1-x \), \( v = x^2+8 \).

Тогда \( u' = -1 \), \( v' = 2x \).

\( f'(x) = \frac{-1 \cdot (x^2+8) - (1-x) \cdot 2x}{(x^2+8)^2} = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} \).

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} = 0 \)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \).

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 4) \), \( (4, \infty) \).

Знаменатель \( (x^2+8)^2 \) всегда положителен.

Рассмотрим числитель \( x^2 - 2x - 8 \).

При \( x < -2 \), например \( x = -3 \): \( (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \). Производная положительна.

При \( -2 < x < 4 \), например \( x = 0 \): \( (0)^2 - 2(0) - 8 = -8 < 0 \). Производная отрицательна.

При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \). Производная положительна.

4. Производная отрицательна при \( x \in (-2, 4) \).

Ответ: x ∈ (‑2; 4)