51. Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 10x⁹ + 6x⁵ + 5x

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = 10x^9 + 6x^5 + 5x \).

Первообразная от \( x^n \) равна \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \).

Для \( 10x^9 \): \( 10 \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} = 10 \cdot \frac{x^{10}}{10} = x^{10} \).

Для \( 6x^5 \): \( 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6 \).

Для \( 5x \) (то есть \( 5x^1 \)): \( 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2} x^2 \).

Общая первообразная равна сумме первообразных с добавлением константы \( C \).

\( F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2} x^2 + C \).

Ответ: \( F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2} x^2 + C \)