450. Даны точки $A(0;1;2)$, $B(\sqrt2;1;2)$, $C(\sqrt2;2;1)$ и $D(0;2;1)$. Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

Question

Вопрос: $Фото задания: 450. Даны точки $A(0;1;2)$, $B(\sqrt2;1;2)$, $C(\sqrt2;2;1)$ и $D(0;2;1)$. Докажите, что $ABCD$ — квадрат.$ Фото задания

Accepted Answer

Найдём векторы сторон:

$\overrightarrow{AB}=(\sqrt2;0;0)$, $\overrightarrow{BC}=(0;1;-1)$, $\overrightarrow{CD}=(-\sqrt2;0;0)$, $\overrightarrow{DA}=(0;-1;1)$.

Их длины равны: $|AB|=|CD|=\sqrt2$, $|BC|=|DA|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$. Значит, все стороны равны.

Соседние стороны перпендикулярны, так как $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\sqrt2\cdot0+0\cdot1+0\cdot(-1)=0$.

Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом. Следовательно, $ABCD$ — квадрат.

450. Даны точки \(A(0;1;2)\), \(B(\sqrt2;1;2)\), \(C(\sqrt2;2;1)\) и \(D(0;2;1)\). Докажите, что \(ABCD\) — квадрат.