462. Упростите выражение: a) x³. (x^2)^5; б) (a^3)^2 . a^5; в) (a^2)^3 . (a^4)^2; г) (x^2)^5 . (x^5)^2; д) (m^2 m^3)^4; е) (x^4 x)^2.

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

а) \( x^3 \cdot (x^2)^5 \)

\[ x^3 \cdot x^{2 \cdot 5} = x^3 \cdot x^{10} = x^{3+10} = x^{13} \]

б) \( (a^3)^2 \cdot a^5 \)

\[ a^{3 \cdot 2} \cdot a^5 = a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11} \]

в) \( (a^2)^3 \cdot (a^4)^2 \)

\[ a^{2 \cdot 3} \cdot a^{4 \cdot 2} = a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14} \]

г) \( (x^2)^5 \cdot (x^5)^2 \)

\[ x^{2 \cdot 5} \cdot x^{5 \cdot 2} = x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20} \]

д) \( (m^2 m^3)^4 \)

\[ (m^{2+3})^4 = (m^5)^4 = m^{5 \cdot 4} = m^{20} \]

е) \( (x^4 x)^2 \)

\[ (x^{4+1})^2 = (x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10} \]

Ответ: а) \( x^{13} \); б) \( a^{11} \); в) \( a^{14} \); г) \( x^{20} \); д) \( m^{20} \); е) \( x^{10} \).