66. Известно, что a < 0 и b > 0. Сравните с нулём значения: а) ab^2; б) a^3b; в) a^2b; г) ab^3; д) -ab^3; е) a^2 + b^2; ж) (a + b)^2; з) (a - b)^2.

Решение:

Дано: \( a < 0 \) (a — отрицательное число) и \( b > 0 \) (b — положительное число).

а) \( ab^2 \)

Число \( b^2 \) всегда положительное (или ноль, но \( b \) не ноль). Число \( a \) отрицательное. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательное.

Ответ: \( ab^2 < 0 \).

б) \( a^3b \)

Число \( a^3 \) отрицательное, так как \( a \) отрицательное. Число \( b \) положительное. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательное.

Ответ: \( a^3b < 0 \).

в) \( a^2b \)

Число \( a^2 \) положительное, так как \( a \) отрицательное. Число \( b \) положительное. Произведение двух положительных чисел положительное.

Ответ: \( a^2b > 0 \).

г) \( ab^3 \)

Число \( a \) отрицательное. Число \( b^3 \) положительное, так как \( b \) положительное. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательное.

Ответ: \( ab^3 < 0 \).

д) \( -ab^3 \)

Число \( a \) отрицательное. Число \( b^3 \) положительное. Произведение \( ab^3 \) отрицательное. Перед ним стоит знак минус, поэтому \( -ab^3 \) будет положительным.

Ответ: \( -ab^3 > 0 \).

е) \( a^2 + b^2 \)

Число \( a^2 \) положительное. Число \( b^2 \) положительное. Сумма двух положительных чисел положительное.

Ответ: \( a^2 + b^2 > 0 \).

ж) \( (a + b)^2 \)

Значение \( a + b \) может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от того, больше ли \( |a| \) чем \( b \). Например, если \( a = -3 \) и \( b = 2 \), то \( a+b = -1 \), а \( (a+b)^2 = (-1)^2 = 1 > 0 \). Если \( a = -2 \) и \( b = 3 \), то \( a+b = 1 \), а \( (a+b)^2 = 1^2 = 1 > 0 \). В любом случае, квадрат любого действительного числа, кроме нуля, положителен. Если \( a+b = 0 \) (например, \( a=-2, b=2 \), но \( b>0 \) всегда, так что \( a+b \) может быть 0 только если \( a=-b \), что невозможно, т.к. \(a<0 \) и \(b>0 \)), то квадрат равен нулю. Но здесь \( a \) отрицательное, \( b \) положительное. Они не могут быть равны по модулю, чтобы их сумма была 0, так как \( a \) всегда меньше 0, а \( b \) всегда больше 0. Следовательно \( a+b \) может быть 0 только если \( a=-b \), что невозможно. Таким образом \( a+b \) не равно 0. Квадрат ненулевого числа положителен.

Ответ: \( (a + b)^2 > 0 \).

з) \( (a - b)^2 \)

Число \( a \) отрицательное, а \( b \) положительное. Тогда \( -b \) отрицательное. Разность \( a - b \) — это сумма двух отрицательных чисел \( a + (-b) \), следовательно, \( a - b \) отрицательное число. Квадрат отрицательного числа положителен.

Ответ: \( (a - b)^2 > 0 \).