465. Найдите значение выражения: a) $ \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} $; б) $ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} $; в) $ \frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4^5} $; г) $ \frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} $; д) $ \frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} $; е) $ \frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} $; ж) $ \frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9^2} $; з) $ \frac{(11^3)^3}{11^2 \cdot 11^3} $.

Question

465. Найдите значение выражения: a) $ \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} $; б) $ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} $; в) $ \frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4^5} $; г) $ \frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} $; д) $ \frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} $; е) $ \frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} $; ж) $ \frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9^2} $; з) $ \frac{(11^3)^3}{11^2 \cdot 11^3} $.

$Фото задания: 465. Найдите значение выражения: a) $ \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} $; б) $ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} $; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, а также $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Преобразуем числа к одному основанию, где это возможно.

а) $ \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} $

\[ \frac{2^5 \cdot 2^{3 \cdot 4}}{2^{13}} = \frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}} = \frac{2^{5+12}}{2^{13}} = \frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4 = 16 \]

б) $ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} $

\[ \frac{5^{8 \cdot 2} \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}} = \frac{5^{16+7}}{5^{22}} = \frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5 \]

в) $ \frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4^5} $

Заметим, что $ 4 = 2^2 $.

\[ \frac{2^{5 \cdot 2}}{2^6 \cdot (2^2)^5} = \frac{2^{10}}{2^6 \cdot 2^{2 \cdot 5}} = \frac{2^{10}}{2^6 \cdot 2^{10}} = \frac{2^{10}}{2^{6+10}} = \frac{2^{10}}{2^{16}} = 2^{10-16} = 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]

г) $ \frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} $

Заметим, что $ 27 = 3^3 $.

\[ \frac{3^7 \cdot 3^3}{3^{4 \cdot 3}} = \frac{3^{7+3}}{3^{12}} = \frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

д) $ \frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} $

Заметим, что $ 25 = 5^2 $.

\[ \frac{5^{2 \cdot 4} \cdot 5^2}{5^9} = \frac{5^8 \cdot 5^2}{5^9} = \frac{5^{8+2}}{5^9} = \frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5 \]

е) $ \frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} $

\[ \frac{7^{3 \cdot 3} \cdot 7^2}{7^{5 \cdot 2}} = \frac{7^9 \cdot 7^2}{7^{10}} = \frac{7^{9+2}}{7^{10}} = \frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^{11-10} = 7^1 = 7 \]

ж) $ \frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9^2} $

Заметим, что $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $.

\[ \frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^{4 \cdot 3}) \cdot (3^2)^2} = \frac{3^{11+3}}{3^{12} \cdot 3^{2 \cdot 2}} = \frac{3^{14}}{3^{12} \cdot 3^4} = \frac{3^{14}}{3^{12+4}} = \frac{3^{14}}{3^{16}} = 3^{14-16} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

з) $ \frac{(11^3)^3}{11^2 \cdot 11^3} $

\[ \frac{11^{3 \cdot 3}}{11^{2+3}} = \frac{11^9}{11^5} = 11^{9-5} = 11^4 = 14641 \]

Ответ: а) 16; б) 5; в) $ \frac{1}{64} $; г) $ \frac{1}{9} $; д) 5; е) 7; ж) $ \frac{1}{9} $; з) 14641.

Ответ:

Решение:

а) \( \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} \)

б) \( \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} \)

в) \( \frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4^5} \)

г) \( \frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} \)

д) \( \frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} \)

е) \( \frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} \)

ж) \( \frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9^2} \)

з) \( \frac{(11^3)^3}{11^2 \cdot 11^3} \)