464. Упростите выражение: а) x^5 . (x^2)^3; б) (x^3)^4 . x^8; в) (x^4)^2 . (x^5)^3; г) (x^2)^3 . (x^3)^5; д) (x^3)^2 . (x^4)^5; е) (x^7)^3 . (x^3)^4.

Решение:

Используем свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

а) \( x^5 \cdot (x^2)^3 \)

\[ x^5 \cdot x^{2 \cdot 3} = x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11} \]

б) \( (x^3)^4 \cdot x^8 \)

\[ x^{3 \cdot 4} \cdot x^8 = x^{12} \cdot x^8 = x^{12+8} = x^{20} \]

в) \( (x^4)^2 \cdot (x^5)^3 \)

\[ x^{4 \cdot 2} \cdot x^{5 \cdot 3} = x^8 \cdot x^{15} = x^{8+15} = x^{23} \]

г) \( (x^2)^3 \cdot (x^3)^5 \)

\[ x^{2 \cdot 3} \cdot x^{3 \cdot 5} = x^6 \cdot x^{15} = x^{6+15} = x^{21} \]

д) \( (x^3)^2 \cdot (x^4)^5 \)

\[ x^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 5} = x^6 \cdot x^{20} = x^{6+20} = x^{26} \]

е) \( (x^7)^3 \cdot (x^3)^4 \)

\[ x^{7 \cdot 3} \cdot x^{3 \cdot 4} = x^{21} \cdot x^{12} = x^{21+12} = x^{33} \]

Ответ: а) \( x^{11} \); б) \( x^{20} \); в) \( x^{23} \); г) \( x^{21} \); д) \( x^{26} \); е) \( x^{33} \).