49. Через точки A и B проведена прямая. Где на этой прямой лежит точка C, расстояние от которой до точки B в 2 раза больше расстояния от неё до точки A?

Рассмотрим возможные положения точки C.

1. Точка C лежит между A и B. Тогда \(AC+BC=AB\), а по условию \(BC=2AC\). Следовательно, \(3AC=AB\), поэтому \(AC=\dfrac{AB}{3}\), \(BC=\dfrac{2AB}{3}\).
2. Точка C лежит за точкой A. Тогда \(BC=AB+AC\). С учётом условия \(BC=2AC\): \(AB+AC=2AC\), откуда \(AC=AB\).

За точкой B такая точка находиться не может, поскольку тогда \(AC>BC\).

Ответ: 2 точки — одна между A и B, причём \(AC=\dfrac{AB}{3}\), и одна за точкой A, причём \(AC=AB\).