491. Докажите, что значения выражений √(7 + 4√3) + √(7 − 4√3) и √(7 + 4√3) · √(7 − 4√3) являются натуральными числами.

Сначала заметим: 7 + 4√3 = (2 + √3)², а 7 − 4√3 = (2 − √3)². Поскольку 2 − √3 > 0, получаем √(7 + 4√3) = 2 + √3 и √(7 − 4√3) = 2 − √3.

Сумма: (2 + √3) + (2 − √3) = 4.

Произведение: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1.

Оба значения натуральные числа: 4 и 1.