495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D=60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C=∠D=45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.

а) Для нахождения площади трапеции необходима высота. Проведем высоты из точек B и A к основанию CD, назовем их BH и AK соответственно. Тогда KH=AB=10 см, и DK+CH = (20-10)/2 = 5 см. Треугольник BCH является прямоугольным. Имеем CH=5 см, BC=13 см, тогда BH = \(\sqrt{13^2 - 5^2}\) = \(\sqrt{169 - 25}\) = \(\sqrt{144}\) = 12 см. Площадь трапеции равна (S = \(\frac{1}{2}\)(AB + CD) * BH = \(\frac{1}{2}\)(10 + 20) * 12 = 180) см². б) Если углы при основании трапеции равны 60°, а AB=BC=8 см, то трапеция равнобедренная. Проведем высоты. В равнобедренном треугольнике, один из углов 60, значит углы равны 60. Тогда треугольник ABH равносторонний. Высота равна \(8* \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\). Пусть высоты равны h, тогда BC=8, AB=8, и CH=(8-8)/2 = 0. Получается параллелограмм. Площадь = 8* \(4\sqrt{3}\) = \(32\sqrt{3}\). Тогда если CD будет равно 16, то можно решить. Площадь будет равна ((8+16)/2 * 4\(\sqrt{3}\) = 48\(\sqrt{3}\)).
в) ∠C=∠D=45°, AB=6, BC=9√2 см. Если углы при основании 45 градусов, то получим что треугольники CBH и ADK являются равнобедренными. BH=CH. Пусть BH=h. Тогда по теореме Пифагора (h^2+h^2=\(9\sqrt{2}\)^2). (2h^2=162), (h^2=81), h=9. Получается, что CH=9, высота равна 9. Значит, DC = 6 + 9 + 9 = 24. Площадь равна: S = \(\frac{1}{2}\)(6+24)*9 = 135. Ответы: а) 180 см², б) \(32\sqrt{3}\) если предположить, что трапеция - параллелограмм, или \(48\sqrt{3}\) если CD=16, в) 135 см².