499 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

Решение:

Для нахождения высоты треугольника воспользуемся формулой площади через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h \). Отсюда высота \( h = \frac{2S}{a} \). Сначала найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} \), площадь \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).

а) Стороны: 24 см, 25 см, 7 см.

1. Найдём полупериметр: \( p = \frac{24+25+7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \) см.
2. Найдём площадь: \( S = \sqrt{28(28-24)(28-25)(28-7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 4 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 7)} = \sqrt{4^2 \cdot 7^2 \cdot 3^2} = 4 \cdot 7 \cdot 3 = 84 \) см².
3. Найдем высоты к каждой стороне:
• К стороне 24 см: \( h_1 = \frac{2 \cdot 84}{24} = \frac{168}{24} = 7 \) см.
• К стороне 25 см: \( h_2 = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72 \) см.
• К стороне 7 см: \( h_3 = \frac{2 \cdot 84}{7} = \frac{168}{7} = 24 \) см.
4. Меньшая высота равна 6.72 см.

б) Стороны: 15 см, 17 см, 8 см.

1. Найдём полупериметр: \( p = \frac{15+17+8}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см.
2. Найдём площадь: \( S = \sqrt{20(20-15)(20-17)(20-8)} = \sqrt{20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{(4 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 4)} = \sqrt{4^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2} = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60 \) см².
3. Найдем высоты к каждой стороне:
• К стороне 15 см: \( h_1 = \frac{2 \cdot 60}{15} = \frac{120}{15} = 8 \) см.
• К стороне 17 см: \( h_2 = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06 \) см.
• К стороне 8 см: \( h_3 = \frac{2 \cdot 60}{8} = \frac{120}{8} = 15 \) см.
4. Меньшая высота равна \( \frac{120}{17} \) см.

Ответ: а) 6.72 см; б) \( \frac{120}{17} \) см.