5 (1 балл). Упростите выражение: (1+tg2a)·cos2a - 1

Решение:

1. Раскроем скобки:
• \( (1+\text{tg}2\alpha) \cdot \cos 2\alpha - 1 = 1 \cdot \cos 2\alpha + \text{tg}2\alpha \cdot \cos 2\alpha - 1 \)
2. Вспомним определение тангенса: \( \text{tg}2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \)
3. Подставим вместо тангенса:
• \( \cos 2\alpha + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \cos 2\alpha - 1 \)
• Сократим \( \cos 2\alpha \):
• \( \cos 2\alpha + \sin 2\alpha - 1 \)
4. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \)
5. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \)
6. Подставим:
• \( (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 \)
• \( 1 - 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 \)
• \( - 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha \)
• Вынесем общий множитель \( 2\sin\alpha \):
• \( 2\sin\alpha (\cos\alpha - \sin\alpha) \)

Ответ: Упрощённое выражение: \( 2\sin\alpha(\cos\alpha - \sin\alpha) \)