9 (1 балл). Решите уравнение: √2x + 7= x + 2

Решение:

Для решения иррационального уравнения \( \sqrt{2x+7} = x+2 \) необходимо возвести обе части в квадрат и учесть условия неотрицательности выражений.

1. Условия:
• Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 2x + 7 \ge 0 \) \( \Rightarrow 2x \ge -7 \) \( \Rightarrow x \ge -3.5 \)
• Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень извлекается в действительных числах: \( x+2 \ge 0 \) \( \Rightarrow x \ge -2 \)
• Общее условие: \( x \ge -2 \)
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
• \( (\sqrt{2x+7})^2 = (x+2)^2 \)
• \( 2x+7 = x^2 + 4x + 4 \)
3. Приведём к квадратному уравнению:
• \( x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 = 0 \)
• \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета):
• \( x_1 + x_2 = -2 \)
• \( x_1 \cdot x_2 = -3 \)
• Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \)
5. Проверим корни на соответствие условию \( x \ge -2 \):
• \( x_1 = 1 \) удовлетворяет условию \( 1 \ge -2 \).
• \( x_2 = -3 \) НЕ удовлетворяет условию \( -3 < -2 \).
6. Следовательно, посторонним является корень \( x = -3 \).

Ответ: x = 1