5.19. \( g x+2\ctg x-3=0\);

Положим \(t= g x\). Тогда \(\ctg x=\frac{1}{t}\), причём \(t\ne0\).

Получаем \(t+\frac{2}{t}-3=0\), откуда после умножения на \(t\): \(t^2-3t+2=0\).

Разложим на множители: \((t-1)(t-2)=0\). Следовательно, \( g x=1\) или \( g x=2\).

Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan 2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).