5. ABCD — параллелограмм. BE ⟂ AC, DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O. Центральная симметрия с центром O переводит A в C, B в D, а прямую AC в себя.

Перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC, поэтому E переходит в P. Следовательно, отрезок AE переходит в CP, и AE = CP.

Точки A, P, E, C лежат на AC, а из расположения на рисунке следует AP = AE + EP и CE = CP + PE только если соответствующие точки упорядочены иначе; непосредственно симметрия даёт AE = CP, откуда при общем порядке A–P–E–C получается AP = CE? Это требует также учитывать расположение проекций: симметричные точки E и P относительно O и A,C относительно O, поэтому на прямой AC равны соответствующие расстояния AP и CE.

Ответ: AP = CE.