5. ABCD — параллелограмм. Диагональ AC; точки E и P лежат на AC, причём BE ⟂ AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Поворот на 180° вокруг их точки пересечения переводит A в C, D в B, а прямую AC — в себя.

Перпендикуляр из D к AC при этом переходит в перпендикуляр из B к AC. Поэтому основание P переходит в E. Отрезок AP переходит в CE, а поворот сохраняет длины.

Следовательно, AP = CE.