5. ABCD — параллелограмм. На диагонали AC лежат точки P и E; BP ⟂ AC и DE ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O: O — середина AC и BD.
2. Поворот на 180° вокруг O переводит A в C, B в D, а прямую AC в себя. Перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC, поэтому точка P переходит в E.
3. Поворот сохраняет расстояния, а отрезок AP переходит в CE. Значит, \(AP=CE\).

Что и требовалось доказать.