5. CD — биссектриса. В прямоугольном треугольнике BCA ∠C = 90°, ∠A = 15°, CA = √2. Найдите x = AD и y = BC.

В треугольнике \(BCA\): \(\angle B=180°-90°-15°=75°\).

По теореме синусов для стороны \(BC=y\): \(\dfrac{y}{\sin15°}=\dfrac{\sqrt2}{\sin75°}\). Так как \(\sin75°=\cos15°\), получаем \(y=\sqrt2\tan15°=\sqrt2(2-\sqrt3)\).

Найдём гипотенузу: \(AB=\dfrac{\sqrt2}{\sin75°}\).

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{CA}{CB}\). Следовательно, \(AD=AB\cdot\dfrac{CA}{CA+CB}=\dfrac{\sqrt2}{\sin75°(1+\tan15°)}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\).

Ответ: \(x=\dfrac{2\sqrt2}{3}\), \(y=\sqrt2(2-\sqrt3)\).