6. Найдите x и y на рисунке: RM = 6, RM ⟂ MS, ∠R = 45°, ∠S = 30°, TS = x, RS = y.

В прямоугольном треугольнике RMT один острый угол равен \(45°\), поэтому второй тоже равен \(45°\), а \(MT=RM=6\). Значит, \(RT=6\sqrt2\).

В треугольнике RST углы при R и S равны \(45°\) и \(30°\), поэтому \(\angle T=105°\).

По теореме синусов: \(\dfrac{x}{\sin45°}=\dfrac{RT}{\sin30°}\), откуда \(x=6\).

Также \(\dfrac{y}{\sin105°}=\dfrac{RT}{\sin30°}\), откуда \(y=12\sqrt2\sin105°=6(\sqrt3+1)\).

Ответ: \(x=6\), \(y=6(\sqrt3+1)\).