5. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором DC = 6, AD = 10, AA₁ = 5. Найти угол между прямой A₁D₁ и KD, где K — середина B₁D₁.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 10; 0), A₁(0; 0; 5), B₁(6; 0; 5), D₁(0; 10; 5). Тогда K — середина B₁D₁, поэтому K(3; 5; 5).

Направляющие векторы прямых: A₁D₁ = (0; 10; 0), KD = D − K = (−3; 5; −5).

Их скалярное произведение равно 50, а длины — 10 и √59. Поэтому cos φ = 50/(10√59) = 5/√59.

Ответ: φ = arccos(5/√59) ≈ 49,4°.