6. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны между собой. Используя векторы, найдите: а) угол между прямыми A₁C и AB; б) угол между прямой C₁B и плоскостью (ABC).

Пусть длина каждого ребра равна a. Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a/2; √3a/2; 0), A₁(0; 0; a), C₁(a/2; √3a/2; a).

а) Направляющие векторы прямых A₁C и AB можно взять равными (a/2; √3a/2; −a) и (a; 0; 0). Их скалярное произведение равно a²/2, длины — a√2 и a. Следовательно, cos φ = (a²/2)/(a²√2) = 1/(2√2), откуда φ = arccos(1/(2√2)).

б) Для прямой C₁B направляющий вектор равен (a/2; −√3a/2; −a), его длина — a√2. Проекция этого вектора на плоскость (ABC) имеет длину a, а вертикальная составляющая — a. Поэтому синус угла ψ между прямой и плоскостью равен a/(a√2) = 1/√2, откуда ψ = 45°.

Ответ: а) arccos(1/(2√2)); б) 45°.