5. Дано: ABCD — параллелограмм; E и P лежат на диагонали AC; BE ⟂ AC, DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим поворот на 180° вокруг точки пересечения диагоналей параллелограмма. При нём A переходит в C, B — в D, а диагональ AC остаётся на месте. Перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC, поэтому E переходит в P. Следовательно, AE = CP.

На диагонали AC точки расположены в порядке A, P, E, C. Поэтому AP = AE − PE, а CE = CP − PE. Из AE = CP следует AP = CE.

Ответ: AP = CE.