№ 5. Дано: равнобедренная трапеция ABCD, AB = CD = 20, BC = 4, ∠A = 45°, BK ⟂ AD, CM ⟂ AD. Найдите KM, BK, AK и S_ABCD.

Question

Вопрос:

№ 5. Дано: равнобедренная трапеция ABCD, AB = CD = 20, BC = 4, ∠A = 45°, BK ⟂ AD, CM ⟂ AD. Найдите KM, BK, AK и S_ABCD.

Accepted Answer

1. В прямоугольном треугольнике ABK гипотенуза AB = 20, угол A равен 45°. Поэтому \(AK=BK=20\sin45^\circ=10\sqrt2\).

2. Четырёхугольник BKMC — прямоугольник, поэтому \(KM=BC=4\).

3. Нижнее основание \(AD=AK+KM+MD\). В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на основание равны, значит MD = AK. Следовательно, \(AD=10\sqrt2+4+10\sqrt2=20\sqrt2+4\).

4. \(S_{ABCD}=\frac{(BC+AD)\cdot BK}{2}=\frac{(4+20\sqrt2+4)\cdot10\sqrt2}{2}=200+40\sqrt2\).

Ответ: KM = 4; BK = 10√2; AK = 10√2; S_ABCD = 200 + 40√2.