5) Диагонали ромба \(AC=a\), \(BD=b\). Точка \(K\in BD\), и \(BK:KD=1:3\). Найдите величину \(|AK|\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим их точку пересечения через \(O\).

1. Из отношения \(BK:KD=1:3\) получаем \(BK=\frac14b\). Так как \(BO=\frac12b\), то \(OK=BO-BK=\frac14b\).
2. Также \(AO=\frac12a\), а \(AO\perp OK\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(AOK\): \[|AK|=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac b4\right)^2}=\frac14\sqrt{4a^2+b^2}.\]

Ответ: \(|AK|=\frac14\sqrt{4a^2+b^2}\).