5. f(x) = √x · ln(x)

Применяем правило производной произведения:

\[f'(x)=(\sqrt{x})'\ln x+\sqrt{x}(\ln x)'\]

\[f'(x)=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\]

Так как \(\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\), получаем:

\[f'(x)=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}},\quad x>0\]

Ответ: \(f'(x)=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}\).