5. Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне. Этот перпендикуляр пересекает диагональ под углом 60°. Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра равна 6 см.

Пусть острый угол ромба равен α. Диагональ, соединяющая вершины острых углов, образует с каждой прилегающей стороной угол α/2. Поэтому угол между этой диагональю и перпендикуляром к стороне равен 90° − α/2. По условию он равен 60°, значит α = 60°.

Обозначим сторону ромба через a. Высота равна a·sin 60° = 6, откуда a = 4√3 см. Диагональ, соединяющая острые углы, равна 2a·cos 30° = 12 см.

Ответ: 12 см.