5. log₁/₅(2x-1) + log₁/₅x > 0

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{1/5}(2x - 1) + \log_{1/5} x > 0 \) выполним следующие шаги:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
• \( 2x - 1 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > 1 \) \( \Rightarrow x > \frac{1}{2} \).
• \( x > 0 \).
• Объединяя условия, получаем \( x > \frac{1}{2} \).
2. Сумму логарифмов преобразуем в логарифм произведения: \( \log_{1/5}((2x - 1)x) > 0 \) \( \Rightarrow \log_{1/5}(2x^2 - x) > 0 \).
3. Так как основание логарифма \( \frac{1}{5} < 1 \), неравенство раскрывается со сменой знака: \( 2x^2 - x < \left(\frac{1}{5}\right)^0 \) \( \Rightarrow 2x^2 - x < 1 \) \( \Rightarrow 2x^2 - x - 1 < 0 \).
4. Решим квадратное неравенство \( 2x^2 - x - 1 < 0 \). Найдем корни уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \): \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \). Корни: \( x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \) и \( x_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).
5. Парабола \( y = 2x^2 - x - 1 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( 2x^2 - x - 1 < 0 \) выполняется при \( -\frac{1}{2} < x < 1 \).
6. Совместим решение квадратного неравенства с ОДЗ \( x > \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2} < x < 1 \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{2}; 1\right) \).