6. log₄x + log₄(x - 3) < 1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_4 x + \log_4(x - 3) < 1 \) выполним следующие шаги:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
• \( x > 0 \)
• \( x - 3 > 0 \) \( \Rightarrow x > 3 \)
• Объединяя условия, получаем \( x > 3 \).
2. Сумму логарифмов преобразуем в логарифм произведения: \( \log_4(x(x - 3)) < 1 \) \( \Rightarrow \log_4(x^2 - 3x) < 1 \).
3. Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), неравенство раскрывается без смены знака: \( x^2 - 3x < 4^1 \) \( \Rightarrow x^2 - 3x < 4 \) \( \Rightarrow x^2 - 3x - 4 < 0 \).
4. Решим квадратное неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \): \( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \). Корни: \( x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \).
5. Парабола \( y = x^2 - 3x - 4 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 4 \).
6. Совместим решение квадратного неравенства с ОДЗ \( x > 3 \): \( 3 < x < 4 \).

Ответ: \( (3; 4) \).