6. б) log₆x + log₆(x - 5) < 1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_6 x + \log_6(x - 5) < 1 \) выполним следующие шаги:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
• \( x > 0 \)
• \( x - 5 > 0 \) \( \Rightarrow x > 5 \)
• Объединяя условия, получаем \( x > 5 \).
2. Сумму логарифмов преобразуем в логарифм произведения: \( \log_6(x(x - 5)) < 1 \) \( \Rightarrow \log_6(x^2 - 5x) < 1 \).
3. Так как основание логарифма \( 6 > 1 \), неравенство раскрывается без смены знака: \( x^2 - 5x < 6^1 \) \( \Rightarrow x^2 - 5x < 6 \) \( \Rightarrow x^2 - 5x - 6 < 0 \).
4. Решим квадратное неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \): \( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \). Корни: \( x_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \).
5. Парабола \( y = x^2 - 5x - 6 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 6 \).
6. Совместим решение квадратного неравенства с ОДЗ \( x > 5 \): \( 5 < x < 6 \).

Ответ: \( (5; 6) \).