5) $\log_{\frac14}\frac{35-x^2}{x}\ge-\frac12$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $\log_{\frac14}\frac{35-x^2}{x}\ge-\frac12$$ Фото задания

Accepted Answer

Основание $\frac14\in(0;1)$, поэтому знак неравенства меняется:

$0<\frac{35-x^2}{x}\le\left(\frac14\right)^{-1/2}=2$.

1) При $x>0$:

Из условия положительности: $0<x<\sqrt{35}$.

Решаем вторую часть:

$\frac{35-x^2}{x}\le2$,

$35-x^2\le2x$,

$x^2+2x-35\ge0$,

$(x-5)(x+7)\ge0$.

С учётом $x>0$: $x\in[5;\sqrt{35})$.

2) При $x<0$:

Для положительности дроби необходимо $x<-\sqrt{35}$. Кроме того, после умножения на отрицательный знаменатель:

$35-x^2\ge2x$,

$x^2+2x-35\le0$,

откуда $-7\le x\le5$.

Пересечение условий: $x\in[-7;-\\sqrt{35})$.

Ответ: $x\in[-7;-+sqrt{35})\cup[5;\sqrt{35})$.

5) \(\log_{\frac14}\frac{35-x^2}{x}\ge-\frac12\)