5. На рисунке KL ∥ NM, NK = KL = LM, ∠LNM = 30°. Найдите углы трапеции KLMN.

Так как KL ∥ NM, то накрест лежащие углы при диагонали NL равны: ∠KLN = ∠LNM = 30°.

В треугольнике KNL стороны NK и KL равны, поэтому углы, лежащие напротив них, равны: ∠KNL = ∠KLN = 30°. Тогда ∠NKL = 180° − 30° − 30° = 120°.

Углы при боковой стороне KN supplementary: ∠N = 180° − ∠K = 60°.

В треугольнике NLM стороны LM и KL равны, а KL ∥ NM. Из равенства KL = LM следует, что треугольник KLM здесь не требуется; угол при L между KL и LM равен 180° − ∠KLM? Найдём углы напрямую: ∠LNM = 30°, а из KL ∥ NM следует ∠KLN = 30°. Стороны NK = KL дают ∠KNL = 30° и ∠NKL = 120°. Поскольку KL ∥ NM, ∠KLM и ∠LNM образуют соответствующий угол с диагональю? Для отметок KL = LM треугольник KLM не образован: диагональ NL делит угол при L, а ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM. По равенству KL = LM имеем ∠KML = ∠LKM, но данных для их определения недостаточно.

Применяя также NK = KL = LM и KL ∥ NM: в треугольнике KNL ∠KNL = ∠KLN = 30°. Поскольку NK = LM и KL = NK, треугольник KLM имеет KL = LM, однако его угол при K не задаётся отдельно из видимых данных. Таким образом, однозначно определяются ∠K = 120° и ∠N = 60°, но для ∠L и ∠M данных недостаточно без дополнительного условия, например, что боковые стороны трапеции равны.

Ответ: ∠K = 120°, ∠N = 60°; ∠L и ∠M по видимым данным однозначно определить нельзя.