5. Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условию $\operatorname{НОК}(a,b)=30\operatorname{НОД}(a,b)$. Какие значения может принимать число $\frac{|a-b|}{\operatorname{НОД}(a,b)}$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условию $\operatorname{НОК}(a,b)=30\operatorname{НОД}(a,b)$. Какие…$ Фото задания

5. Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условию $\operatorname{НОК}(a,b)=30\operatorname{НОД}(a,b)$. Какие значения может принимать число $\frac{|a-b|}{\operatorname{НОД}(a,b)}$?

Accepted Answer

Пусть $d=\operatorname{НОД}(a,b)$, $a=dx$, $b=dy$, где $\operatorname{НОД}(x,y)=1$. Тогда $\operatorname{НОК}(a,b)=dxy$. По условию $dxy=30d$, значит, $xy=30$.

Так как $x$ и $y$ взаимно просты, возможны пары множителей числа 30: $(1,30)$, $(2,15)$, $(3,10)$, $(5,6)$, а также обратные пары. Искомое число равно $|x-y|$.

Ответ: 1, 7, 13 или 29.

5. Натуральные числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют условию \(\operatorname{НОК}(a,b)=30\operatorname{НОД}(a,b)\). Какие значения может принимать число \(\frac{|a-b|}{\operatorname{НОД}(a,b)}\)?

Ответ: