5.Найдите математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины

Решение:

Данные представлены в таблице:

1. Математическое ожидание (E[X]):

\( E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)

\( E[X] = (5 × 0.125) + (7 × 0.075) + (9 × 0.1) + (11 × 0.1) + (13 × 0.375) + (15 × 0.225) \)

\( E[X] = 0.625 + 0.525 + 0.9 + 1.1 + 4.875 + 3.375 \)

\( E[X] = 11.4 \)

2. Дисперсия (D[X]):

\( D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \)

Сначала найдем \( E[X^2] \):

\( E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i \)

\( E[X^2] = (5^2 × 0.125) + (7^2 × 0.075) + (9^2 × 0.1) + (11^2 × 0.1) + (13^2 × 0.375) + (15^2 × 0.225) \)

\( E[X^2] = (25 × 0.125) + (49 × 0.075) + (81 × 0.1) + (121 × 0.1) + (169 × 0.375) + (225 × 0.225) \)

\( E[X^2] = 3.125 + 3.675 + 8.1 + 12.1 + 63.375 + 50.625 \)

\( E[X^2] = 140.9 \)

Теперь найдем дисперсию:

\( D[X] = 140.9 - (11.4)^2 \)

\( D[X] = 140.9 - 129.96 \)

\( D[X] = 10.94 \)

Ответ: Математическое ожидание \( E[X] = 11.4 \). Дисперсия \( D[X] = 10.94 \).