6. Найдите производную функции у=(x²+5х⁴)(x²-6)

Решение:

Данная функция является произведением двух функций: \( u(x) = x^2 + 5x^4 \) и \( v(x) = x^2 - 6 \).

Для нахождения производной используем правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

1. Найдем производные функций u(x) и v(x):

\( u'(x) = (x^2 + 5x^4)' = 2x + 20x^3 \)

\( v'(x) = (x^2 - 6)' = 2x \)

2. Применим правило производной произведения:

\( y' = (2x + 20x^3)(x^2 - 6) + (x^2 + 5x^4)(2x) \)

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\( y' = (2x × x^2 - 2x × 6 + 20x^3 × x^2 - 20x^3 × 6) + (x^2 × 2x + 5x^4 × 2x) \)

\( y' = (2x^3 - 12x + 20x^5 - 120x^3) + (2x^3 + 10x^5) \)

\( y' = 2x^5 - 120x^3 + 2x^3 - 12x + 2x^3 + 10x^5 \)

\( y' = (2x^5 + 10x^5) + (-120x^3 + 2x^3 + 2x^3) - 12x \)

\( y' = 12x^5 - 116x^3 - 12x \)

Ответ: \( y' = 12x^5 - 116x^3 - 12x \).