5. Найдите углы трапеции KLMN, если KL ∥ NM, NK = KL = LM и угол между NL и NM при N равен 30°.

Так как KL ∥ NM, угол KLN равен углу LNM, то есть 30°. В треугольнике NKL стороны NK и KL равны, поэтому углы KNL и KLN равны 30°, а угол NKL равен 120°. Следовательно, угол трапеции при N равен 30° + 30° = 60°, а при K — 120°.

Обозначим KL = LM = a. Высота трапеции равна высоте треугольника NKL: h = a sin 120° = √3a/2. У боковой стороны LM длины a вертикальная составляющая равна h, поэтому её горизонтальная составляющая равна √(a² − h²) = a/2. Значит, угол при M имеет тангенс h/(a/2) = √3 и равен 60°. Соседний с ним угол L равен 120°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 120°, ∠M = 60°, ∠N = 60°.