5. Определите число решений системы уравнений \(\begin{cases}y=\sqrt[6]{x},\\3x+5y=8.\end{cases}\) Найдите эти решения.

Из первого уравнения следует \(x\geq0\) и \(y\geq0\). Подставим \(x=y^6\) во второе уравнение: \(3y^6+5y=8\).

Функция \(3y^6+5y\) строго возрастает при \(y\geq0\), поэтому уравнение может иметь не более одного решения. При \(y=1\) получаем \(3+5=8\), значит, решение есть и оно единственное. Тогда \(x=1^6=1\).

Ответ: одно решение, \((x;y)=(1;1)\).