8. Упростите выражение \(\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Область допустимых значений: \(x\geq0\), \(x\ne1\). Обозначим \(t=\sqrt{x}\); тогда \(t\geq0\), \(t\ne1\), а \(\sqrt[3]{x}=t^{2/3}\).

Первую скобку приведём к общему знаменателю: \(\frac{t+1}{(t-1)(t+1)}+\frac{t^{2/3}}{t-1}=\frac{1+t^{2/3}(t+1)}{(t-1)(t+1)}\).

Вторая скобка равна \(1+\frac{2}{t-1}=\frac{t+1}{t-1}\). Деление на неё заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{1+t^{2/3}(t+1)}{(t-1)(t+1)}\cdot\frac{t-1}{t+1}=\frac{1+t^{2/3}(t+1)}{(t+1)^2}\).

Возвращаясь к \(x\), получаем \(\frac{1+\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}\).

Ответ: \(\frac{1+\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}\), при \(x\geq0,\ x\ne1\).